1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn
• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: a2b=ab. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Ví dụ 1.
a) 32 . 5=32 . 5=35;
b) 18=9 . 2=32 . 2=32.
Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có A2 . B= |A|B, tức là:
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A2B=AB;
Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì A2B=−AB.
Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài căn:
a) 9xy2 với x ≥ 0, y < 0;
b) 20x2y với x ≥ 0, y ≥ 0.
Lời giải:
a) 9xy2=(3y)2x= |3y|x=−3yx (với x ≥ 0, y < 0);
b) 20x2y=4×2 . 5y=(2x)2 . 5y
= |2x|5y=x5y (với x ≥ 0, y ≥ 0).
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì AB=A2B.
Với A < 0 và B ≥ 0 thì AB=− A2B.
Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong căn:
a) 52;
b) 2a23a với a ≥ 0.
Lời giải:
a) 52=52 . 2=25 . 2=50;
b) 2a23a=(2a2)2 . 3a=4a4 . 3a=12a5 với a ≥ 0.
• Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.
Ví dụ 3. So sánh 35 và 18.
Lời giải:
Ta có: 35=32 . 5=45.
Vì 45>18 nên 35>18.
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A. B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:
AB=AB|B|.
Ví dụ 4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a) 37;
b) 119a3 với a > 0
Lời giải:
a) 37=3 . 77 . 7=3 . 772=217;
b) Vì a > 0 nên 3a > 0. Do đó |3a| = 3a;
Vì a > 0 nên 9a3 > 0. Do đó |9a3|>9a3.
Khi đó,
119a3=11 . 9a39a3 . 9a3=11a . 9a2(9a3)2=11a . 9a2|9a3|
=|3a|11a|9a3|=3a11a9a3=11a3a2.
4. Trục căn thức ở mẫu
Trục căn thức ở mẫu số là biến đổi để biểu thức đó mất căn thức ở mẫu số.
Tổng quát:
• Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có:
AB=ABB
• Với các biểu thức A, B, C mà A≥0, A ≠ B2, ta có:
CA±B=C(A∓B)A−B2.
• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ta có:
CA±B=C(A∓B)A−B.
Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu
a) 92−1;
b) 47−3.
Lời giải:
a) 92−1=9(2+1)(2−1)(2+1)
=92+92−1 =92+91 =92+9.
b) 47−3=4(7+3)(7+3)(7−3)
=4(7+3)4=7+3.
