phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian,vận dụng cao, thông hiểu, bám sát đề thi THPTQG

4 năm trước

phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian,vận dụng cao, thông hiểu, bám sát đề thi THPTQG

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’

Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng  chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳng ∆’. Khi đó 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot \left( ABCD \right)$,đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=5a$ và $BC=4a$. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Hướng dẫn giải

Ta có : $BC//\left( SAD \right)$

Do đó: $d\left( BC;SD \right)=d\left( BC;\left( SAD \right) \right)=d\left( B;\left( SAD \right) \right)$

Mà :

Ta có: $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}-16{{a}^{2}}}=3a$

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Ta có: 

Ví dụ 1: Hình chộp chữ nhật ABCD.ABCD’ có $AB=3;AD=4;AA’=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D’ bằng bao nhiêu?

Ta có: $\left( ABCD \right)//\left( A’B’C’D’ \right)$

$AC\subset \left( ABCD \right)$ và $B’D’\subset \left( A’B’C’D’ \right)$

Nên $d\left( AC,B’D’ \right)=d\left( \left( ABCD \right);\left( A’B’C’D’ \right) \right)=AA’=5$

Bài tập tự giải: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE và BC.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC theo a.

Đáp số: $d\left( MN,AC \right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó. Ta xét 2 trường hợp sau:

1.∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

– Chọn mặt phẳng chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I

– Trong mặt phẳng  kẻ \[IJ\bot \Delta ‘\]

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ và $d\left( \Delta ;\Delta ‘ \right)=IJ$

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta CDN=\Delta DAM\left( cgc \right)$

Kẻ $HK\bot SC\Rightarrow HK\bot MD\Rightarrow DK=d\left( DM,SC \right)$

Ta có:

$\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}$

2. ∆ và ∆’ vừa chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ theo một trong hai cách sau đây:

Cách 1:

+ Chọn mặt phẳng  chứa ∆ và song song với ∆’

+ Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống bằng cách lấy điểm  . Ta dựng đoạn  , lúc đó đường thẳng d đi qua N và song song với  ∆

+ Gọi $H=d\cap ~\Delta ‘,HK//MN$

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của  ∆  và  ∆’ và $d\left( ~\Delta ;\Delta ‘ \right)=HK=MN$

Cách 2:

+ Chọn mặt phẳng  tại I

+ Tìm hình chiếu của d xuống ∆’ xuống mặt phẳng

+ Trong mặt phẳng , dựng $IJ\bot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HM\bot JI$

Khi đó HM là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’, và $d\left( \Delta ,\Delta ‘ \right)=HM=JI$

Bài tập tự giải: Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc $60{}^\circ $ , nhận $AB=a$ làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C với $BC=a$. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Tính $d\left( AC,BD \right)$

Đáp án: $d\left( AC;BD \right)=\frac{a\sqrt{93}}{31}$

Bài viết gợi ý: