VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Để xây dựng được thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng, chúng ta hãy bắt đầu với việc giải hệ phương trình sau: (2x + y = 7 x + 3y = 11 Bước 1 Biến đổi hệ số của ẩn x trong hệ bằng nhau, bằng cách nhân phương trình thứ hai với 2. Lần lượt thực hiện các phép biến đổi hệ về dạng: (2x + y = 7 2x + 6y = 22 Bước 2 Trừ theo vế hai phương trình để khử ẩn x và thu được một phương trình chỉ chứa y. ⇔ (− 5y = −15 2x + y = 7 Bước 3 Giải phương trình chỉ chứa ẩn y, để tìm giá trị của y. ⇔ (y = 3 2x + y = 7 Bước 4 Thay giá trị của y vào phương trình còn lại, để được một phương trình chỉ chứa ẩn x. ⇔ (y = 3 2x + 3 = 7 Bước 5 Giải phương trình chỉ chứa ẩn x, rồi kết luận về nghiệm của hệ. ⇔ (x = 2 y = 3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2; 3). Từ đó, để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi để các hệ số của một ẩn (giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x. Bước 3: Giải phương trình tìm giá trị của y. Bước 4: Thay giá trị y vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của x. Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình. 4! Chú ý 1. Để cho gọn lời giải, thông thường các bước 3 và bước 4 được kết hợp lại với nhau. 2. Trong một vài trường hợp, bước 1 và bước 3 không cần thực hiện, ví dụ: a) (x − 3y = 1 2x + 3y = 11 ⇔ (3x = 12 x − 3y = 1 ⇔ (x = 4 4 − 3y = 1 ⇔ (x = 4 y = 1. b) (2x − y = 3 x − y = 1 ⇔ (x = 2 x − y = 1 ⇔ (x = 2 2 − y = 1 ⇔ (x = 2 y = 1.
B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Giải hệ phương trình Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Giải các hệ phương trình sau: (3x + 4y = 18 4x − 3y = −1 a) (√3x − √2y = 1 √2x + 3√3y = 4√6. b) LỜI GIẢI. 1 Ta lựa chọn một trong hai cách khử: Cách 1. Ta thực hiện phép khử x. (3x + 4y = 18 4x − 3y = −1 ×4 3 (12x + 16y = 72 12x − 9y = −3 ⇔ (25y = 75 4x − 3y = −1 ⇔ (y = 3 4x − 3 · 3 = −1 ⇔ (x = 2 y = 3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2; 3). Cách 2. Ta thực hiện phép khử y. (3x + 4y = 18 4x − 3y = −1 ×3 4 (9x + 12y = 54 16x − 12y = −4 ⇔ (25x = 50 3x + 4y = 18 ⇔ (x = 2 3 · 2 + 4y = 18 ⇔ (x = 2 y = 3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2; 3). 2 Ta thực hiện (√3x − √2y = 1 √2x + 3√3y = 4√6 × √2 × √3 (√6x − 2y = √2 √6x + 9y = 12√2 ⇔ (11y = 11√2 √3x − √2y = 1 ⇔ (y = √2 √3x − √2 · √2 = 1 ⇔ (x = √3 y = √2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất Ä√3; √2 ä. Nhận xét. Như vậy, trong lời giải trên: 1) Qua ví dụ trên, các em học sinh hiểu thêm rằng việc nhân hệ số để một ẩn trong hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, trong nhiều trường hợp cần thực hiện phép nhân ở cả hai phương trình của hệ (trong ví dụ là 3 và 4 cho mỗi phương trình). 2) Ở câu b), ta cần nhân hai phương trình của hệ theo thứ tự với √2 và √3 mới nhận được hệ số của x trong hệ là bằng nhau. Trong thực tế, chúng ta sẽ gặp dạng toán cần thực hiện theo hai bước: Bước 1: Thiết lập hệ phương trình; Bước 2: Giải hệ nhận được trong bước 1. VÍ DỤ 2 (Bài 21/trang 19 – SGK). Giải các hệ phương trình sau: (x √2 − 3y = 1 2x + y √2 = −2 a) (5x √3 + y = 2√2 x √6 − y √2 = 2. b) LỜI GIẢI. 1 Ký hiệu các phương trình của hệ theo thứ tự là (1), (2). Nhân hai vế của (1) với − √2, ta có hệ phương trình tương đương: (− 2x + 3√2y = − √2 2x + y √2 = −2 ⇔ (4 √2y = −2 − √2 2x + y √2 = −2 ⇔ y = −1 − √2 4 x = √2 − 6 8. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ç√2 − 6 8 ; −1 − √2 4. 2 Ký hiệu các phương trình của hệ theo thứ tự là (1), (2). Nhân hai vế của (1) với √2, ta có hệ phương trình tương đương: (5x √6 + y √2 = 4 x √6 − y √2 = 2 ⇔ (6x √6 = 6 x √6 − y √2 = 2 ⇔ x = √6 6 y = − √2 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ç√6 6 ; − √2 2.
VÍ DỤ 3. Cho hệ phương trình (x + my = 1 mx − y = −m. 1 Chứng tỏ rằng với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất; 2 Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x < 1 và y < 1; 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x và y không phụ thuộc vào m. LỜI GIẢI. 1 Nhận xét rằng với m = 0, hệ có dạng (x = 1 y = 0 ⇒ m = 0 hệ có nghiệm duy nhất. Với m 6= 0, biến đổi hệ về dạng (x + my = 1 m2x − my = −m2 ⇔ ((m2 + 1)x = 1 − m2 x + my = 1 ⇔ x = 1 − m2 m2 + 1 1 − m2 m2 + 1 + my = 1 ⇔ x = 1 − m2 m2 + 1 y = 2m m2 + 1. Tức là, với m 6= 0 hệ cũng có nghiệm duy nhất. Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất. 2 Để nghiệm (x; y) của hệ thỏa mãn x < 1 và y < 1, điều kiện là: 1 − m2 m2 + 1 < 1 2m m2 + 1 < 1 ⇔ (1 − m2 < m2 + 1 2m < m2 + 1 ⇔ (m2 > 0 (m − 1)2 > 0 ⇔ (m 6= 0 m − 1 6= 0 ⇔ (m 6= 0 m 6= 1. Vậy với m 6= 0 và m 6= 1 thỏa mãn điều kiện đề bài. 3 Nhận xét rằng x 2 + y 2 = 1 − m2 m2 + 1ã2 + 2m m2 + 1ã2 = (1 − m2) 2 + 4m2 (m2 + 1)2 = m4 − 2m2 + 1 + 4m2 (m2 + 1)2 = m4 + 2m2 + 1 (m2 + 1)2 = (m2 + 1)2 (m2 + 1)2 = 1. Vậy ta thu được hệ thức x 2 + y 2 = 1. 4! Chú ý. 1) Trong lời giải câu a), nếu chúng ta không xét riêng trường hợp m = 0 và m 6= 0 sẽ vi phạm phép biến đổi tương đương. 2) Trong phạm vi kiến thức THCS, khó có thể giải thích một cách đầy đủ cho các em học sinh hiểu được tại sao lại có được nhận xét về x 2 + y 2. Tuy nhiên, đối với các em học sinh thực sự muốn nâng cao kiến thức thì hãy tham khảo cuốn Phương pháp giải toán đại số của Lê Hồng Đức do NXB Hà Nội ấn hành. VÍ DỤ 4. Cho hệ phương trình (x + my = 2 mx + y = m + 1. 1 Giải hệ phương trình với m = 1; 2 Chứng tỏ rằng với mọi m 6= ±1 hệ luôn có nghiệm duy nhất; 3 Tìm giá trị của m để nghiệm duy nhất (x; y) của hệ thỏa mãn x + y < 0; 4 Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên duy nhất.
LỜI GIẢI. 1 Với m = 1, hệ có dạng (x + y = 2 x + y = 2 ⇒ hệ có vô số nghiệm thỏa mãn (x; 2 − x). 2 Nhận xét rằng với m = 0, hệ có dạng (x = 2 y = 1 ⇒ m = 0 hệ có nghiệm duy nhất. Với m 6= 0, biến đổi hệ về dạng (mx + m2 y = 2m mx + y = m + 1 ⇔ ((m2 − 1)y = m − 1 mx + y = m + 1 m6=±1 y = 1 m + 1 mx + 1 m + 1 = m + 1 ⇔ x = m + 2 m + 1 y = 1 m + 1. Tức là, với m 6= 0 và m 6= ±1 hệ cũng có nghiệm duy nhất. Vậy, với mọi m 6= ±1 hệ luôn có nghiệm duy nhất. 3 Để nghiệm duy nhất của hệ thỏa mãn x + y < 0, điều kiện là m + 2 m + 1 + 1 m + 1 < 0 ⇔ m + 3 m + 1 < 0 ⇔ −3 < m < −1, thỏa mãn điều kiện duy nhất của nghiệm. Vậy với −3 < m < −1 thỏa mãn điều kiện đề bài. 4 Để nghiệm nguyên duy nhất của hệ nguyên điều kiện cần là m + 1 là ước của 1 (gồm có ±1), ta lập bảng: m + 1 −1 1 m −2 0 y = 1 m + 1 −1 1 x = m + 2 m + 1 0 2 Vậy, với m = −2 hoặc m = 0 hệ có nghiệm nguyên duy nhất. VÍ DỤ 5. Giải hệ phương trình x y = 3 2 3x − 2y = 5. LỜI GIẢI. Điều kiện: y 6= 0. Ta thực hiện x y = 3 2 3x − 2y = 5 ⇔ (2x = 3y 3x − 2y = 5 ⇔ (2x − 3y = 0 3x − 2y = 5 ⇔ (6x − 9y = 0 3x − 2y = 5 ⇔ (5y = 10 3x − 2y = 5 ⇔ (y = 2 3x − 2 · 2 = 5 ⇔ (x = 3 y = 2. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (3; 2). Nhận xét. Hẳn các em học sinh cũng thấy, ở dạng ban đầu hệ phương trình trong ví dụ trên không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên, chỉ cần một vài phép biến đổi đơn giản chúng ta đã chuyển được vê hệ bậc nhất hai ẩn, để từ đó sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm.
