Phương pháp đặt hệ phương trình là phương pháp giải bài toán được áp dụng rất là nhiều trong cả chương trình toán cơ bản và nâng cao, nó cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề thi. Để học tốt môn toán thì đây là phần kiến thức mà chúng ta không thể bỏ qua. Ngoài chương trình toán thì vật lý và hóa học cũng là môn học áp dụng khá nhiều tới phương pháp giải bài toán bằng cách đặt hệ phương trình. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em nắm vững được kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1: Lập hệ phương trình

• Chọn 2 ẩn, chọn đơn vị và đặt điều kiện thích hợp cho hai ẩn. (Ẩn là các đjai lượng cần tìm)
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
• Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải hệ phương trình. Có thể áp dụng các phương pháp để giải hệ phương trình như: phương pháp thế, phương pháp công đại số hoặc dùng ẩn phụ nếu gặp bài toán phức tạp,…

Bước 3: Kiểm tra nghiệm của phương trình vừa giải và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa về phương pháp giải lập hệ phương trình

Tỉ số của 2 số là 3 : 4. Nếu giảm số lớn đi 100 và tăng số nhỏ thêm 200 thì tỉ số mới là 5 : 3. Tìm 2 số đó

Giải:

Gọi số lớn là y, số bé là x (y > x)

Tỉ số của 2 số là 3 : 4 thì ta có x / y = 3 / 4      (1)

Nếu giảm số lớn đi 100 và tăng số bé lên 200 thì tỉ số mới là 5 : 3 như vậy ta có phương trình :

( x + 200) / (y – 100) = 5 / 3  => 3x – 5y = -1100    (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) tâ được nghiệm x = 300, y = 400

Vậy 2 số cần tìm là x = 300, y = 400

CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán về quan hệ giữa các số

Phương pháp giải bài toán về quan hệ giữa các số

• Tổng của a và b là m thì ta có a + b = m
• Số a lớn hơn số b là m thì ta có a – b = m
• Số a bằng k lần số b thì ta có a = k.b

Ví dụ minh họa

Ví dụ1 : một thửa ruộng hình chữ nhật nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 100 m2. Nếu giảm chiều dài và chiều rộng đi 2 m thì diện tích thì diện tích giảm đi 68 m2. Tính diện tích của thừa ruộng đó.

Giải :

Gọi chiều dài thửa ruộng là x (x, m >0) và chiều rộng là y (m, y >0).

Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng 100 m2 như vậy ta có được phương trình sau :

(x + 2). (y + 3) = xy + 100   => 3x + 2y = 94     (1)

Nếu giảm chiều dài và chiều rộng đi 2 m thì diện tích giảm đi 68 m2 ta có được phương trình tương ứng như sau

(x + 2). (y + 3) = xy – 68   => -2x – 2y = -72       (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được nghiệm x = 22 và y = 14 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích thửa ruộng là 22. 14 = 308 m2

Ví dụ 2: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?

Giải :

Gọi số chi tiết máy của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x (chi tiết, x thuộc số tự nhiên)

Gọi số chi tiết máy của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (chi tiết, y thuộc số tự nhiên)

Tháng thứ nhất cả 2 tổ sản xuất được 900 chi tiết máy từ đó ta lập được phương trình (1) như sau :

X + y = 900

Tháng thứ hai tổ I vượt 15% và tổ II vượt 10% nên đã sản xuất được 1010 chi tiết máy từ đó ta lập được phương trình (2) như sau:

115x / 100) + (110y / 100) = 1010

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có được nghiệm là x = 400 và y = 500 ( thỏa mãn điều kiện)

Vây đáp án là trong tháng thứ nhất tổ I đã sản xuất được 400 chi tiết máy và tổ II đã sản xuất được 500 chi tiết máy

Ví dụ 3 : Hai kho chứa 45 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng kho II bằng 4 / 5 số hàng kho I. Tính số hàng trong mỗi kho

Giải:

Gọi số hàng trong kho I là x ( tấn, x >0), số hàng trong kho II là y ( tấn, y > 0)

Hai kho chứa 450 tấn hàng nên ta có phương trình (1):

x + y = 455

Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng kho II bằng 4 / 5 số hàng kho I nên ta có được phương trình (2): y + 50 = 4/5( x – 50)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được nghiệm x = 300 và y = 150, hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện

Vậy số hàng trong kho I là 300 tấn hàng và số hàng trong kho II là 150 tấn hàng

Dạng toán liên quan đến chữ số

Phương pháp giải dạng toán liên quan đến chữ số

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 10 và nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị

Giải

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y với điều kiện x > 0, y nhỏ hơn hoặc bằng 9, cả x và y đều thuộc số tự nhiên

Ví dụ 2 : một số tự nhiên có 2 chữ số. Tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 2 / 3. Nếu viết thêm chữ số 1 xen vào giữa thì được số mới lớn hơn số đã cho là 370 đơn vị. Tìm số đã cho.

Dạng toán làm chung công việc

Phương pháp giải:

• Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia là toàn bộ công việc, phần việc trong một đơn vị thời gian và thời gian
• Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được 1 / x công việc
• Xem toàn bộ công việc là 1

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hai công nhân cùng làm một công việc trong 18h thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình đến khi hoàn thành công việc là x ( giờ, x > 0)

Gọi y là thời gian người thứ nhất làm một mình đến khi hoàn thành công việc ( giờ, y > 0)

Trong 1h người thứ nhất làm được 1 / x công việc. Người thứ hai làm được 1 / y công việc

Hai người làm chung 18h thì xong vậy ta có phương trình (1):

1 / x + 1 / y = 1 / 18

Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ hai làm trong 12h thì hoàn thành 50% công việc nhưu vậy ta có được phương trình (2):

6 / x + 12 / y = 50%

Giải hệ phuwogn trình (1) và (2) ta thu được nghiệm x = 36 và y = 36, hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho

Như vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 36h và người thứ hai hoàn thành công việc trong 36h

Ví dụ 2: Hai vòi nước chảy cùng vào một bẻ không có nước thì sau 1h30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ I chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II chảy trong 20 phút thì được 1 / 5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chạy riêng thì bao lâu bể đầy ?

Giải:

Ta có: 1h30 phút = 3/2h ; 15 phút = 1/4h ; 20 phút = 1/3h

Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x (giờ, x > 0)

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y (giờ, y > 0)

Hai vòi cùng chảy thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy nước từ đó ta có phương trình (1):

1/x + 1/y  2/3

Vòi I chảy trong 15 phút và voi II chảy trong 20 phút thì được 1/5 bể từ đó ta có được phương trình (2):

1/4x + 1/3y = 1/5

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta thu được nghiệm x = 15/4 và y = 5/2, hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài cho.

Vậy nếu chảy riêng từng vòi thì vòi I chảy đầy bể trong 15/4 giờ, vòi II chảy đầy bể trong 5/2 giờ

Dạng toán chuyển động

Phương pháp giải

• Toán chuyển động có ba đai lượng tham gia: vận tốc (v), thời gian (t), quãng đường (s)
• Công thức: v = s /t ; s = v.t ; t = s/v

ví dụ minh họa

Ví dụ 1: một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc lên thêm 3km /h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km / giờ thì thười gian tăng lên 3h. Tính vận tốc và thười gian dự định của ca nô.

Giải:

Gọi vận tốc dự định của ca nô là x (km /h; x > 3) và thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ, y > 0)

Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3km /h thì thười gian rút ngắn được 2 giờ như vậy ta có được phương trình (1):

( x + 3) .(y-2) = xy

Nếu ca nô giảm vận tốc thêm 3km /h thì thời gian tăng thêm 3 giờ từ đó ta có phương( trình (2):

(x – 3). (y + 3) = xy

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta thu được nghiệm là x = 15 và y = 12, nghiệm thu được thỏa mãn điều kiện đã cho

Vậy vận tốc dự định của ca nô là 15 km/h

Và thời gian dự định của ca nô là 12h

Ví dụ 2: Một ca nô chảy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km. Một lần khác ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước không đổi

Giải:

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x > 0)

Vận tốc dòng nước là y (km/h, x > y > 0)

Suy ra vận tốc xuôi dòng của ca nô là : ( x + y) km/h và vận tốc ngược dòng của ca nô là (x – y) ( km/h)

Ca nô chảy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km, ta có phương trình (1) :

81 / (x + y) + 105 / (x – y) = 8

Ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km, ta có phương trình (2) :

54 / (x + y) + 42 / (x – y) = 4

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được nghiệm x = 24 và y = 3 thỏa mãn điều kiên đã cho

Như vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km /h và vận tốc dòng nước là 3 km/h

Dạng toán có nội dung lý, hóa

Phương pháp giải

Nắm vững các công thức lí, hóa liên quan

ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có hai loại quẳng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quẳng đem trộn để được 25 tấn quẳng chứa 66% sắt.

Giải

Gọi khối lượng loại quẳng chứa 75% sắt và 50% sắt lần lượt là x và y ( tấn, x > 0, y > 0)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

X + y = 25

(75x/ 100) + (50y /100) = (66/ 100). 25

Giải hệ phương trình ta được x = 16 và y = 9, thỏa mãn điều kiện

Vậy đem trộn 16 tấn loại quẳng chứa 75% sắt và 9 tấn loại quẳng chứa 50% sắt ta sẽ được 25 tấn quẳng chứa 66% sắt

Ví dụ 2 : Người ta cho thêm 1 kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20%. Sau đó lại cho thêm 1 kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là 33. (1/3)%. Tính nồng độ axit trong dung dịch A

Giải :

Gọi khối lượng axit trong dung dịch A là x (kg, x > 0)

Gọi khối lượng nước trong dung dịch A là y (kg, y > 0)

Cho thêm 1kg nước vào dung A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20%. Ta có được phương trình tương ứng là (1) như sau :

x / (x + y +1) = 20%

Cho thêm 1 kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là 33. (1/3)%. Ta được phương trình (2) :

(x + 1) / ( x + y + 2) = 33. (1/3)%.

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được nghiệm x = 1, y = 3

Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là : 1 / (3 + 1) = 1 / 4 = 25%

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập 1

Một otô du lịch đi từ A đến C. Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn AC có một oto vận tải cùng đi đến C. Hỏi oto du lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của oto tải bằng 3 / 5 vận tốc oto du lịch

Giải :

Gọi thời gian oto du lịch đi từ A đến B là x (h, 0 < x < 5)

Ta có thời gian oto du lịch đi từ B đến C là 5 – x (h)

Vận tốc xe oto du lịch là (BC / 5 –x) km/h

Vì vận tốc của oto tải bằng 3 / 5 vận tốc của oto du lịch nên ta có phuơng trình :

BC / 5 = (3 / 5). (BC / x-5)

Giải phương trình ta được x = 2

Vậy oto du lịch đi từ A đến B hết 2(h)

Bài tập 2

Mỗi vòi A, B khi mở chảy nước vào bể với lưu lượng đều. Nếu vòi A chảy trong 4 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì nước trong bể là 55 lít. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 4 giờ thì nước trong bể là 57 lít. Vậy nếu hai vòi cùng chảy một lúc thì sau bao nhiêu lâu sẽ làm đầy bể ? Biết rằng dung tích của bể 320 lít

Giải :

Gọi x và y lần lượt là lượng nước chảy qua vòi A và B trong 1 giờ

Vì vòi A chảy trong 4 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì lượng nước trong bể là 55 lít nên ta có phương trình (1) :

4x + 3y = 55

Tương tự như vậy ta lại có vòi A chảy trong 4 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì lượng nước trong bể là 55 lít nên ta có phương trình (2) :

3x + 4y = 57

Giải hệ phương trình (1) và (2) và được x = 7 và y = 9. Như vậy thời gian để hai vòi A và B cùng chảy đầy bể là 320/ (9 + 7) = 20 giờ

Bài tập 3

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 30 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2 và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích tam giác giảm đi 16cm2

Giải :

Gọi độ dài cạnh thứ nhất và cnahj thứ hai cần tìm lần lượt là a cm và b cm, với điều kiện a > 2, b > 4. Khi đó diện tích tam giác lá = ab cm2

Khi tăng mỗi cạnh lên 30 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2 nên ta có phương trình (1):

(a +3). (b+3) = ab + 36

Nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích tam giác giảm đi 16cm2 nên ta có phương trình (2): (a – 2). 9b – 4) = ab – 26

Giải hệ phương trình (1), (2) ta được kết quả a = 3 và b = 6

Vậy độ dài hai cạnh là 3 cm và 5cm

Bài tập 4

 

Bài toán 5

Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đát hình chữ nhật bết rằng nếu tăng gấp đôi chiều dài và giảm đi một nửa chiều rộng thì chu vi mảnh đất tăng lên 180 cm. Nếu tăng gấp đôi chiều rộng và giảm đi một nửa chiều dài thì chu vi tăng lên 120 cm

Giải :

Gọi chiều dài và chiểu rộng của mảnh đất lần lượt là x (m), y (m) với điều kiện x > 0 và y > 0. Khi đó chu vi mảnh đất là d = x + y (m)

Khi tăng gấp đôi chiều dài và giảm đi một nửa chiều rộng thì chu vi mảnh đất tăng lên 180 cm nên 2x + ( y /2) = ( x + y) + 180  (1)

Khi tăng gấp đôi chiều rộng và giảm đi một nửa chiều dài thì chu vi tăng lên 120 cm nên  ( x / 2) + 2y = ( x+ y) + 120    (2)

Giải hệ phương trình ( 1) và (2) ta được kết quả thỏa mãn điều kiện là x = 165 và y = 135. Vậy chiều dài của mảnh đất là 165 m và chiều rộng của mảnh đất là 135 m

Bài tập 6

Trong túi đượng bi đỏ và bi xanh. Nếu lấy ra một bi đỏ thì một phần bảy số bi còn lại là đỏ. Nếu lấy ra hai bi xanh thay vì một bi đỏ thì một phần năm số bi còn lại là đỏ. Hỏi trong túi lúc đầu có bao nhiêu bi xanh và bao nhiêu bi đỏ

Giải :

Gọi số bi đỏ lúc đầu có trong túi là x , x > 1

Gọi số bi xanh lúc đầu có trong túi là y , y > 2

Nếu lấy ra một bi đỏ thì một phần bảy số bi còn lại là đỏ nên ta lập được phương trình (1) :

(x – 1 + y).(1 /7) = x -1

Nếu lấy ra hai bi xanh thay vì một bi đỏ thì một phần năm số bi còn lại là đỏ nên ta lập được phương trình (2) :

(x  + y – 2).(1 /5) = x

Gải hệ phương trình (1) và (2) ta được nghiệm x = 4 và y = 18

Vậy trong túi lúc đầu có 4 bi đỏ và 18 bi xanh