Ta biết, vị trí tương đối của 2 mặt phẳng có 3 khả năng xảy ra:
- Hai mặt phẳng trùng nhau => d = 0
- Hai mặt phẳng cắt nhau => d = 0
- Hai mặt phẳng song song với nhau (d ≠ 0) => Bài viết này sẽ tập trung vào chủ đề này
Phương pháp tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Để tìm khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng ta làm như sau
Trường hợp 1: Khi $\left[ \begin{array}{l} \left( P \right) \cap \left( Q \right)\\ \,\left( P \right) \equiv \left( Q \right) \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = 0$ .
Trường hợp 2: Khi $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\,\left( Q \right)} \right)$
với $A \in \left( P \right)\,$.
Ví dụ vận dụng tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ACC’} \right)$.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{a}{4}$.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Chọn D.
Ta có: $\left( {MNP} \right)$//$\left( {ACA’} \right)$$ \Rightarrow d\left( {\left( {MNP} \right);\left( {ACA’} \right)} \right) = d\left( {P;\left( {ACA’} \right)} \right) = \frac{1}{2}OD’ = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Chọn D.Ta có: $\left( {MNP} \right)$//$\left( {ACA’} \right)$$ \Rightarrow d\left( {\left( {MNP} \right);\left( {ACA’} \right)} \right) = d\left( {P;\left( {ACA’} \right)} \right) = \frac{1}{2}OD’ = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng $60^\circ $, đáy $ABC$ là tam giác đều và $A’$ cách đều A, B, $C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
A. a.
B. $a\sqrt 2 $.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{{2a}}{3}$.
Chọn A.
Vì ∆ABC đều và$AA’ = A’B = A’C \Rightarrow A’ABC$ là hình chóp đều.
Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm ∆ABC , $A’\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} H = 60^\circ $.
$A’H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\sqrt 3 = a$.
Chọn A.Vì ∆ABC đều và$AA’ = A’B = A’C \Rightarrow A’ABC$ là hình chóp đều.Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm ∆ABC , $A’\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} H = 60^\circ $.$A’H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\sqrt 3 = a$.
Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc ${60^{\rm{o}}}.$ Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)$ là trung điểm của ${B_1}{C_1}.$ Khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
A. $a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
B. $\frac{a}{3}.$
C. $a\frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
D. $\frac{a}{2}.$
Ta có: $A’H \bot \left( {ABC} \right) \to \widehat {A’AH} = {60^{\rm{o}}}.$
$d\left( {\left( {A’B’C’} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = A’H = A’A.cos{60^{\rm{o}}} = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Chọn đáp án A.
Ta có: $A’H \bot \left( {ABC} \right) \to \widehat {A’AH} = {60^{\rm{o}}}.$$d\left( {\left( {A’B’C’} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = A’H = A’A.cos{60^{\rm{o}}} = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30^\circ $. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng $\left( {A’B’C’} \right)$ thuộc đường thẳng$B’C’$. Tìm
A. $\frac{a}{3}.$
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
C. $\frac{a}{2}.$
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra $AB’ = AC’ \Rightarrow B’H = HC’ \Rightarrow A’H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.$
Chọn đáp án C.
Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra $AB’ = AC’ \Rightarrow B’H = HC’ \Rightarrow A’H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.$Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằng
A. $a\sqrt 3 $.
B. $a\sqrt 2 $.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Ta có $d\left( {\left( {AB’C} \right),\left( {A’DC’} \right)} \right) = d\left( {B’,\left( {A’DC’} \right)} \right) = d\left( {D’,\left( {A’DC’} \right)} \right)$
Gọi $O’$ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình
Chiếu của D’ trên O’D, suy ra I là hình chiếu của D’
trên $\left( {A’DC’} \right)$.
$\begin{array}{l}d\left[ {\left( {AB’C} \right),\left( {A’DC’} \right)} \right] = d\left[ {D’,\left( {A’DC’} \right)} \right] = \\D’I = \frac{{D’O’.D’D}}{{\sqrt {D'{{O’}^2} + D'{D^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\end{array}$
Chọn đáp án D.
Ta có $d\left( {\left( {AB’C} \right),\left( {A’DC’} \right)} \right) = d\left( {B’,\left( {A’DC’} \right)} \right) = d\left( {D’,\left( {A’DC’} \right)} \right)$Gọi $O’$ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hìnhChiếu của D’ trên O’D, suy ra I là hình chiếu của D’trên $\left( {A’DC’} \right)$.$\begin{array}{l}d\left[ {\left( {AB’C} \right),\left( {A’DC’} \right)} \right] = d\left[ {D’,\left( {A’DC’} \right)} \right] = \\D’I = \frac{{D’O’.D’D}}{{\sqrt {D'{{O’}^2} + D'{D^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\end{array}$Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)
A. $\frac{a}{3}.$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
D. $\frac{a}{4}.$
Nhận xét $(ACC’) \equiv (ACC’A’)$
Gọi $O = AC \cap BD,{\rm{ }}I = MN \cap BD$
Khi đó, $OI \bot AC,{\rm{ }}OI \bot AA’ \Rightarrow OI \bot (ACC’A’)$
Suy ra $d\left( {(MNP),(ACC’)} \right) = OI = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$
Chọn đáp án B.
Nhận xét $(ACC’) \equiv (ACC’A’)$Gọi $O = AC \cap BD,{\rm{ }}I = MN \cap BD$Khi đó, $OI \bot AC,{\rm{ }}OI \bot AA’ \Rightarrow OI \bot (ACC’A’)$Suy ra $d\left( {(MNP),(ACC’)} \right) = OI = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (BA’C’) bằng
A. khoảng cách từ điểm D’ đến đường thẳng A’C’.
B. khoảng cách giữa hai điểm B và D’.
C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A’C’.
D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD’ và BA’C’
Ta có $(ACD’)//(BA’C’)$.
$\begin{array}{l}DB’ \bot (ACD’)\\DB’ \bot (BA’C’)\end{array}$(đã chứng minh trong SGK)
Đáp án D.
Ta có $(ACD’)//(BA’C’)$.$\begin{array}{l}DB’ \bot (ACD’)\\DB’ \bot (BA’C’)\end{array}$(đã chứng minh trong SGK)Đáp án D.
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(CB’D’)$ và $(BDA’)$ bằng
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Vì $\left( {A’BD} \right)//(B’CD’)$ nên ta có:
$d\left( {\left( {A’BD} \right),\left( {B’CD’} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right)$.
Vì AB = AD = AA’ = a và $A’B = A’D = BD = a\sqrt 2 $ nên
A.A’BD là hình chóp tam giác đều.
Gọi I là trung điểm $A’B,\,\,G$là trọng tâm tam giác A’BD.
Khi đó ta có: $d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right) = AG$
Vì tam giác A’BD đều nên $DI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Theo tính chất trọng tâm ta có: $DG = \frac{2}{3}DI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Trong tam giác vuông $AGD$ có:
$AG = \sqrt {A{D^2} – D{G^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Chọn B
Vì $\left( {A’BD} \right)//(B’CD’)$ nên ta có:$d\left( {\left( {A’BD} \right),\left( {B’CD’} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right)$.Vì AB = AD = AA’ = a và $A’B = A’D = BD = a\sqrt 2 $ nênA.A’BD là hình chóp tam giác đều.Gọi I là trung điểm $A’B,\,\,G$là trọng tâm tam giác A’BD.Khi đó ta có: $d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right) = AG$Vì tam giác A’BD đều nên $DI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.Theo tính chất trọng tâm ta có: $DG = \frac{2}{3}DI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.Trong tam giác vuông $AGD$ có:$AG = \sqrt {A{D^2} – D{G^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Chọn B
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB’) và (DA’C’) bằng
A. $a\sqrt 3 $.
B. $a\sqrt 2 $.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Vì $\left( {ACB’} \right)//(DA’C’)$ nên ta có:
$d\left( {\left( {ACB’} \right),\left( {DA’C’} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACB’} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACB’} \right)} \right)$.
Vì BA = BB’ = BC = a và $AB’ = AC = CB’ = a\sqrt 2 $ nên
B.ACB’ là hình chóp tam giác đều.
Gọi I là trung điểm $AC,\,\,G$là trọng tâm tam giác ACB’.
Khi đó ta có: $d\left( {B;\left( {ACB’} \right)} \right) = BG$
Vì tam giác ACB’ đều nên $B’I = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Theo tính chất trọng tâm ta có: $B’G = \frac{2}{3}B’I = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Trong tam giác vuông BGB’ có:
$BG = \sqrt {BB{‘^2} – B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Chọn C.
Vì $\left( {ACB’} \right)//(DA’C’)$ nên ta có:$d\left( {\left( {ACB’} \right),\left( {DA’C’} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACB’} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACB’} \right)} \right)$.Vì BA = BB’ = BC = a và $AB’ = AC = CB’ = a\sqrt 2 $ nênB.ACB’ là hình chóp tam giác đều.Gọi I là trung điểm $AC,\,\,G$là trọng tâm tam giác ACB’.Khi đó ta có: $d\left( {B;\left( {ACB’} \right)} \right) = BG$Vì tam giác ACB’ đều nên $B’I = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.Theo tính chất trọng tâm ta có: $B’G = \frac{2}{3}B’I = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.Trong tam giác vuông BGB’ có:$BG = \sqrt {BB{‘^2} – B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Chọn C.
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $AB = 4,{\rm{ }}AD = 3.$ Mặt phẳng $(ACD’)$ tạo với mặt đáy một góc ${60^ \circ }.$ Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
A. $\frac{{6\sqrt 3 }}{5}$.
B. $\frac{{12\sqrt 3 }}{5}$.
C. $\frac{{4\sqrt 3 }}{5}$.
D. $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.
Gọi O là hình chiếu của $D$ lên AC.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD’} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\AC \bot DO\\AC \bot D’O\left( {AC \bot \left( {ODD’} \right) \supset OD’} \right)\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {D’AC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {D’OD} = {60^0}$
$AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ ; $DO = \frac{{A
D.DC}}{{AC}} = \frac{{12}}{5}$
Khoảng cách giữa hai mặt đáy là $DD’ = DO.\tan {60^0} = \frac{{12\sqrt 3 }}{5}$
Chọn đáp án B.
Gọi O là hình chiếu của $D$ lên AC.Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD’} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\AC \bot DO\\AC \bot D’O\left( {AC \bot \left( {ODD’} \right) \supset OD’} \right)\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {D’AC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {D’OD} = {60^0}$$AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ ; $DO = \frac{{AD.DC}}{{AC}} = \frac{{12}}{5}$Khoảng cách giữa hai mặt đáy là $DD’ = DO.\tan {60^0} = \frac{{12\sqrt 3 }}{5}$Chọn đáp án B.
Trong không gian Oxyz, ta giả sử gọi d là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng . Khi đó d được tính theo công thức như nào? Có những khả năng nào xảy ra?Ta biết, vị trí tương đối của 2 mặt phẳng có 3 khả năng xảy ra:Để tìm khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng ta làm như sauKhi $\left[ \begin{array}{l} \left( P \right) \cap \left( Q \right)\\ \,\left( P \right) \equiv \left( Q \right) \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = 0$ .Khi $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\,\left( Q \right)} \right)$với $A \in \left( P \right)\,$.1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ACC’} \right)$.A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.B. $\frac{a}{4}$.C. $\frac{a}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng $60^\circ $, đáy $ABC$ là tam giác đều và $A’$ cách đều A, B, $C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.A. a.B. $a\sqrt 2 $.C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.D. $\frac{{2a}}{3}$.3: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc ${60^{\rm{o}}}.$ Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)$ là trung điểm của ${B_1}{C_1}.$ Khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?A. $a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$B. $\frac{a}{3}.$C. $a\frac{{\sqrt 2 }}{2}.$D. $\frac{a}{2}.$4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30^\circ $. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng $\left( {A’B’C’} \right)$ thuộc đường thẳng$B’C’$. Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáyA. $\frac{a}{3}.$B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$C. $\frac{a}{2}.$D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằngA. $a\sqrt 3 $.B. $a\sqrt 2 $.C. $\frac{a}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)A. $\frac{a}{3}.$B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.$C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$D. $\frac{a}{4}.$7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (BA’C’) bằngA. khoảng cách từ điểm D’ đến đường thẳng A’C’.B. khoảng cách giữa hai điểm B và D’.C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A’C’.D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD’ và BA’C’8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(CB’D’)$ và $(BDA’)$ bằngA. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.C. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB’) và (DA’C’) bằngA. $a\sqrt 3 $.B. $a\sqrt 2 $.C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.D. $\frac{a}{3}$.10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $AB = 4,{\rm{ }}AD = 3.$ Mặt phẳng $(ACD’)$ tạo với mặt đáy một góc ${60^ \circ }.$ Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.A. $\frac{{6\sqrt 3 }}{5}$.B. $\frac{{12\sqrt 3 }}{5}$.C. $\frac{{4\sqrt 3 }}{5}$.D. $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.
