Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng, kèm bài tập có lời giải chi tiết.
Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp 1:
Nếu ∠ABD + ∠DBC = 180o thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
Phương pháp 2:
Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình học lớp 7)
Phương pháp 3:
Nếu AB ⊥ a; AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(tiết 3- hình học lớp 7)
Phương pháp 4:
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Phương pháp 5:
Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD và K’ ≡ K thì A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng có lời giải
Áp dụng Phương pháp 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB.
Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN.
Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Bài tập thực hành
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD.
Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có góc ABC = 60o. Vẽ tia Cx ⊥ BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA.
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK.
Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho ∠BAx = ∠ABy. Trên Ax lấy hai điểm C và E (E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Áp dụng Phương pháp 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC.
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp 2, Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN.
Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng
Lời giải
Bài tập thực hành:
Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F. (E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A)
Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
Áp dụng Phương pháp 3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM ⊥ BC.
b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.
– Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC
– hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
Áp dụng Phương pháp 3
Ví dụ:Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy.
Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
ΔBOD và ΔCOD có:
OB = OC (gt)
OD chung
BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).
Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c).
Suy ra : ∠BOD =∠COD
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
Do đó OD là tia phân giác của góc xOy
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
Bài tập thực hành
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB (M ∈ AC, N ∈ AB), H là giao điểm của BM và CN.
a) Chứng minh AM = AN.
b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
Áp dụng phương pháp 5
Ví dụ. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN.
Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Gợi ý: Sử dụng phương pháp 1
Trên đây là những chia sẻ về phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nhìn chung, phần kiến thức này khá quan trọng, áp dụng khá nhiều trong các bài tập hình học phẳng. Do vậy, bạn hãy cố gắng nắm vững nhé!
