Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
\(\left\{\begin{array}{ll} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{array} \right. \ \ \ \ (I)\)
trong đó \(a_1x+b_1y=c_1\) và \(a_2x+b_2y=c_2\) là hai phương trình bậc nhất hai ẩn và \(a_1^2+b^2_1 \neq 0,\ a_2^2+b^2_2 \neq 0.\)
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn [edit]
Cặp số \((x_0; y_0)\) được gọi là nghiệm của hệ \((I)\) nếu nó là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.
Nếu hệ hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của hệ đó.
Tập nghiệm của hệ \((I)\) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \((d_1):\ a_1x+b_1y=c_1\) và \((d_2):\ a_2x+b_2y=c_2.\)
Hệ hai phương trình tương đương [edit]
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Sử dụng kí hiệu \(\Leftrightarrow\) để chỉ sự tương đương của hệ hai hệ phương trình.
Phương pháp cộng đại số [edit]
Quy tắc cộng:
Trong một hệ hai phương trình, ta có thể thay thế một phương trình của hệ bởi một phương trình có được
bẳng cách cộng (hoặc trừ) từng vế hai phương trình của hệ đã cho.
Quy tắc cộng dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
Quy tắc cộng dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
Cách giải:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng, ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng, ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng (hoặc trừ) từng vế của hai phương trình thu gọn để được phương trình một ẩn.
Bước 2: Cộng (hoặc trừ) từng vế của hai phương trình thu gọn để được phương trình một ẩn.
Bước 3: Dùng phương trình thu được ở bước 2 thay cho một trong hai phương trình trong hệ ban đầu ta được hệ mới trong đó có phương trình một ẩn.
Bước 3: Dùng phương trình thu được ở bước 2 thay cho một trong hai phương trình trong hệ ban đầu ta được hệ mới trong đó có phương trình một ẩn.
Bước 4: Giải phương trình một ẩn thu được và kết luận.
Bước 4: Giải phương trình một ẩn thu được và kết luận.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
\(\left\{\begin{array}{ll} 2x+y=1\ \ \ \ \ (1) \\ x−y=2\ \ \ \ \ \ (2) \end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình
Giải
Để ý rằng hệ số của ẩn
\(y\)
ở hai phương trình là
\(1\)
và
\(-1\)
(là hai số đối nhau), nếu cộng hai vế của hai phương trình thì ẩn
\(y\)
bị triệt tiêu.
Để ý rằng hệ số của ẩnở hai phương trình làvà(là hai số đối nhau), nếu cộng hai vế của hai phương trình thì ẩnbị triệt tiêu.
Bước 1: Hệ số của ẩn
\(y\)
là
\(1\)
và
\(-1\)
đã là hai số đối nhau nên không cần nhân thêm hệ số.
Bước 1: Hệ số của ẩnlàvàđã là hai số đối nhau nên không cần nhân thêm hệ số.
Bước 2: Cộng từng vế hai phương trình
\((1)\)
và
\((2)\)
, ta được:
Bước 2: Cộng từng vế hai phương trìnhvà, ta được:
\((2x+y)+(x-y)=1+2\)
\(\Leftrightarrow (2x+x)+(y-y)=3 \)
\(\Leftrightarrow 3x=3\ \ \ \ (3)\)
Bước 3: Dùng phương trình
\((3)\)
thay thế cho phương trình
\((1)\)
trong hệ
\((I)\)
, ta được:
Bước 3: Dùng phương trìnhthay thế cho phương trìnhtrong hệ, ta được:
\((∗)\ \left\{\begin{array}{ll} 3x=3 \\ x−y=2 \end{array} \right.\)
Bước 4: Giải hệ
\((∗)\)
, ta được:
Bước 4: Giải hệ, ta được:
\(\left\{\begin{array}{ll} 3x=3 \\ x−y=2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x=1\\ 1−y=2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x=1\\ y=−1 \end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
\((x;y)=(1;−1).\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Chú ý:
Có thể dùng phương trình
\((3)\)
thay thế cho phương trình
\((2)\)
trong hệ
\((I)\)
, ta cũng được hệ mới:
Có thể dùng phương trìnhthay thế cho phương trìnhtrong hệ, ta cũng được hệ mới:
\(\left\{\begin{array}{ll} 2x+y=1 \\ 3x=3 \end{array} \right.\)
Giải hệ trên ta cũng được nghiệm duy nhất
\((x;y)=(1;−1).\)
Giải hệ trên ta cũng được nghiệm duy nhất
Như vậy, có thể thay phương trình mới cho một trong hai phương trình trong hệ. Do đó, để đơn giản, ta sẽ giữ lại các phương trình với hệ số nhỏ hơn để dễ dàng tính toán.
Như vậy, có thể thay phương trình mới cho một trong hai phương trình trong hệ. Do đó, để đơn giản, ta sẽ giữ lại các phương trình với hệ số nhỏ hơn để dễ dàng tính toán.
