Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ‘) = d(\Delta ‘,(\alpha ))$
Phương pháp 2 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I.
- Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ $IJ \bot \Delta ‘$.
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ‘) = IJ$.
Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆.
- Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm $M \in \Delta $ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$, lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
- Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta ‘$, dựng $HK\parallel MN$
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HK = MN$.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha ) \bot \Delta $ tại I.
- Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α).
- Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng $IJ \bot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HM\parallel IJ$.
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HM = IJ$.
Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ‘) = d(\Delta ‘,(\alpha ))$Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhauKhi đó IJ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ‘) = IJ$.∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhauKhi đó HK là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HK = MN$.HoặcKhi đó HM là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HM = IJ$.a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,{\rm{ }}SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right).$ Gọi $K,{\rm{ }}H$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên $S
D.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK.
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH.
D. Các khẳng định trên đều sai.
Nếu $AK \bot AC,{\rm{ do }}AK \bot AB \Rightarrow AK \bot (ABC)$
$ \Rightarrow AK \equiv SA$ (vì $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow SA \bot SD \Rightarrow \Delta SAD$ có 2 góc vuông (vô lý).
Theo tính chất của hình vuông $CD\not \bot AC$.
Nếu $AC \bot OH,{\rm{ do }}AC \bot BD \Rightarrow AC \bot (SBD) \Rightarrow AC \bot SO \Rightarrow \Delta SOA$ có 2 góc vuông (vô lý)
Như vậy $AC\not \bot AK,{\rm{ }}AC\not \bot CD,{\rm{ }}AC\not \bot OH$
Chọn đáp án D.
Nếu $AK \bot AC,{\rm{ do }}AK \bot AB \Rightarrow AK \bot (ABC)$$ \Rightarrow AK \equiv SA$ (vì $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow SA \bot SD \Rightarrow \Delta SAD$ có 2 góc vuông (vô lý).Theo tính chất của hình vuông $CD\not \bot AC$.Nếu $AC \bot OH,{\rm{ do }}AC \bot BD \Rightarrow AC \bot (SBD) \Rightarrow AC \bot SO \Rightarrow \Delta SOA$ có 2 góc vuông (vô lý)Như vậy $AC\not \bot AK,{\rm{ }}AC\not \bot CD,{\rm{ }}AC\not \bot OH$Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa ABvà CD.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p – AB} \right)\left( {p – BN} \right)\left( {p – AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Cách khác. Tính $MN = \sqrt {A{N^2} – A{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn C.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p – AB} \right)\left( {p – BN} \right)\left( {p – AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}AB.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.Cách khác. Tính $MN = \sqrt {A{N^2} – A{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình chữ nhật với$AC = a\sqrt 5 $và $BC = a\sqrt 2 $. Tính khoảng cách giữa $SD$ và $BC$.
A. $\frac{{3a}}{4}$.
B. $\frac{{2a}}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Ta có: $BC$//$\left( {SAD} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {BC;SD} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)$.
Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = AB$.
Ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} – B{C^2}} = \sqrt {5{a^2} – 2{a^2}} = \sqrt 3 a$.
Chọn D.Ta có: $BC$//$\left( {SAD} \right)$$ \Rightarrow d\left( {BC;SD} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)$.Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = AB$.Ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} – B{C^2}} = \sqrt {5{a^2} – 2{a^2}} = \sqrt 3 a$.
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{a}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Ta có: $d\left( {BB’;AC} \right) = d\left( {BB’;\left( {ACC’A’} \right)} \right) = \frac{1}{2}DB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn C.Ta có: $d\left( {BB’;AC} \right) = d\left( {BB’;\left( {ACC’A’} \right)} \right) = \frac{1}{2}DB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng $1$ (đvdt). Khoảng cách giữa AA’ và BD’ bằng:
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{5}$.
D. $\frac{{3\sqrt 5 }}{7}$.
Ta có: $d\left( {AA’;BD’} \right) = d\left( {BB’;\left( {DBB’D’} \right)} \right) = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn B.Ta có: $d\left( {AA’;BD’} \right) = d\left( {BB’;\left( {DBB’D’} \right)} \right) = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p – AB} \right)\left( {p – BN} \right)\left( {p – AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Chọn A.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p – AB} \right)\left( {p – BN} \right)\left( {p – AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}AB.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và $A’C’$ là :
A. AA’.
B. BB’.
C. DA’.
D. DD’.
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AA’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right)\\A’C’ \subset \left( {A’B’C’D’} \right)\end{array} \right. \to AA’ \bot A’C’\\\left\{ \begin{array}{l}AA’ \bot \left( {ABCD} \right)\\AD \subset (ABCD\end{array} \right.{\rm{ }} \to AA’ \bot AD\end{array}$
Chọn đáp án A.
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AA’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right)\\A’C’ \subset \left( {A’B’C’D’} \right)\end{array} \right. \to AA’ \bot A’C’\\\left\{ \begin{array}{l}AA’ \bot \left( {ABCD} \right)\\AD \subset (ABCD\end{array} \right.{\rm{ }} \to AA’ \bot AD\end{array}$Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. a.
B. $a\sqrt 2 .$
C. $a\sqrt 3 .$
D. 2a.
Ta có:$d\left( {CD,SB} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = AD = a.$
Chọn phương án A.
Ta có:$d\left( {CD,SB} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = AD = a.$Chọn phương án A.
Câu 9: Cho tứ diện $OABC$ trong đó $OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC$ đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
A. a
B. $\frac{a}{{\sqrt 5 }}$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
D. $\frac{a}{2}$
Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tạiH.
Tam giác AOJ vuông tại O, có OH là đường cao $OH = \frac{{OA.OJ}}{{\sqrt {O{A^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}$
Ta có: $OC{\rm{//}}IJ$ nên $OC{\rm{//}}\left( {AIJ} \right)$
Do đó: $d\left( {AI,OC} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {OC,\left( {AIJ} \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {O,\left( {AIJ} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}.$ Chọn đáp án B.
Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tạiH.Tam giác AOJ vuông tại O, có OH là đường cao $OH = \frac{{OA.OJ}}{{\sqrt {O{A^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}$Ta có: $OC{\rm{//}}IJ$ nên $OC{\rm{//}}\left( {AIJ} \right)$Do đó: $d\left( {AI,OC} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {OC,\left( {AIJ} \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {O,\left( {AIJ} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}.$ Chọn đáp án B.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và $B,{\rm{ }}AB = BC = a,{\rm{ }}AD = 2a,$ SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
B. $\frac{a}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Gọi H là trung điểm AD ta có: $d(CD;SB) = d(D;(SBH)) = d(A;(SBH))$
Mà $\frac{1}{{{d^2}(A;(SBH))}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \to d(CD;SB) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
Chọn đáp án $C$
Gọi H là trung điểm AD ta có: $d(CD;SB) = d(D;(SBH)) = d(A;(SBH))$Mà $\frac{1}{{{d^2}(A;(SBH))}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \to d(CD;SB) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$Chọn đáp án $C$
Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.
A. $\frac{{a\sqrt {21} }}{3}$.
B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.
C. $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.
D. $\frac{{a\sqrt {15} }}{3}$.
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm AD,BC. Ta có: $AD,BC \bot (SFE)$, suy ra $SF$ là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF)
Nên $d(AD;SB) = d(E;SF) = \frac{{SE.FE}}{{\sqrt {S{E^2} + F{E^2}} }} = \frac{{a\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{\sqrt {\frac{3}{4}{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a$
Chọn đáp án B
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm AD,BC. Ta có: $AD,BC \bot (SFE)$, suy ra $SF$ là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF)Nên $d(AD;SB) = d(E;SF) = \frac{{SE.FE}}{{\sqrt {S{E^2} + F{E^2}} }} = \frac{{a\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{\sqrt {\frac{3}{4}{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a$Chọn đáp án B
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có $A{A_1} = 2a,AD = 4a$. Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A_1}{B_1}$ và ${C_1}M$ bằng bao nhiêu?
A. 3a.
B. $2a\sqrt 2 .$
C. $a\sqrt 2 .$
D. 2a.
Ta có ${A_1}{B_1}{\rm{//}}{C_1}{D_1}$ suy ra
$d\left( {{A_1}{B_1},{C_1}M} \right) = d\left( {{A_1}{B_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right)$
Vì $A{A_1} = 2a,{\rm{ }}AD = 4a$ và M là trung điểmAD nên ${A_1}M \bot {D_1}M$, suy ra ${A_1}M \bot \left( {{C_1}{D_1}M} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = {A_1}M = 2a\sqrt 2 $.
Chọn đáp án B.
Ta có ${A_1}{B_1}{\rm{//}}{C_1}{D_1}$ suy ra$d\left( {{A_1}{B_1},{C_1}M} \right) = d\left( {{A_1}{B_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right)$Vì $A{A_1} = 2a,{\rm{ }}AD = 4a$ và M là trung điểmAD nên ${A_1}M \bot {D_1}M$, suy ra ${A_1}M \bot \left( {{C_1}{D_1}M} \right)$$ \Rightarrow d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = {A_1}M = 2a\sqrt 2 $.Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và A’B’ bằng bao nhiêu?
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}A’B’ \bot A’A\\A’B’ \bot A’D’\end{array} \right. \Rightarrow A’B’ \bot \left( {ADD’A’} \right)$.
Gọi H là giao điểm của AD’ với A’
D. $ \Rightarrow A’H \bot AD’$
$\left\{ \begin{array}{l}A’H \bot AD’\\A’H \bot A’B’\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A’B’;AD’} \right) = A’H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn B.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}A’B’ \bot A’A\\A’B’ \bot A’D’\end{array} \right. \Rightarrow A’B’ \bot \left( {ADD’A’} \right)$.Gọi H là giao điểm của AD’ với A’D. $ \Rightarrow A’H \bot AD’$$\left\{ \begin{array}{l}A’H \bot AD’\\A’H \bot A’B’\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A’B’;AD’} \right) = A’H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.Chọn B.
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{a}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AA’C’C} \right) \supset AC}\\{\left( {AA’C’C} \right){\rm{//}}BB’}\end{array}} \right.$ nên $d\left( {BB’;AC} \right) = d\left( {BB’;\left( {AA’C’C} \right)} \right)$.
Gọi $I = AC \cap BD$. Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình
lập phương nên $BI \bot \left( {AA’C’C} \right)$.
Suy ra $d\left( {BB’;AC} \right) = d\left( {BB’;\left( {AA’C’C} \right)} \right) = IB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn đáp án C.
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AA’C’C} \right) \supset AC}\\{\left( {AA’C’C} \right){\rm{//}}BB’}\end{array}} \right.$ nên $d\left( {BB’;AC} \right) = d\left( {BB’;\left( {AA’C’C} \right)} \right)$.Gọi $I = AC \cap BD$. Vì ABCD.A’B’C’D’ là hìnhlập phương nên $BI \bot \left( {AA’C’C} \right)$.Suy ra $d\left( {BB’;AC} \right) = d\left( {BB’;\left( {AA’C’C} \right)} \right) = IB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.Chọn đáp án C.
Bản đầy đủ các dạng
1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,{\rm{ }}SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right).$ Gọi $K,{\rm{ }}H$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên $SD.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK.B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH.D. Các khẳng định trên đều sai.2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa ABvà CD.A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.3: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình chữ nhật với$AC = a\sqrt 5 $và $BC = a\sqrt 2 $. Tính khoảng cách giữa $SD$ và $BC$.A. $\frac{{3a}}{4}$.B. $\frac{{2a}}{3}$.C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.D. $a\sqrt 3 $.4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:A. $\frac{a}{2}$.B. $\frac{a}{3}$.C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng $1$ (đvdt). Khoảng cách giữa AA’ và BD’ bằng:A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{5}$.D. $\frac{{3\sqrt 5 }}{7}$.6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằngA. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.C. $\frac{a}{2}$.D. $\frac{a}{3}$.7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và $A’C’$ là :A. AA’.B. BB’.C. DA’.D. DD’.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?A. a.B. $a\sqrt 2 .$C. $a\sqrt 3 .$D. 2a.9: Cho tứ diện $OABC$ trong đó $OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC$ đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?A. aB. $\frac{a}{{\sqrt 5 }}$C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$D. $\frac{a}{2}$10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và $B,{\rm{ }}AB = BC = a,{\rm{ }}AD = 2a,$ SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.B. $\frac{a}{2}$.C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB.A. $\frac{{a\sqrt {21} }}{3}$.B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.C. $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.D. $\frac{{a\sqrt {15} }}{3}$.12: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có $A{A_1} = 2a,AD = 4a$. Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A_1}{B_1}$ và ${C_1}M$ bằng bao nhiêu?A. 3a.B. $2a\sqrt 2 .$C. $a\sqrt 2 .$D. 2a.13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và A’B’ bằng bao nhiêu?A. $a\sqrt 2 $.B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằngA. $\frac{a}{2}$.B. $\frac{a}{3}$.C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.Bản đầy đủ các dạng
vecto trong không gian
