Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian được xác định như thế nào và được tính như thế nào, công thức ra sao ?. Tất cả các vấn đề trên sẽ được giải quyết trong bài viết này.

Nội dung chính

  • Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian
  • Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay
  • BÀI VIẾT LIÊN QUAN
  • Khi biết phương trình của hai mặt phẳng song song ta dễ dàng tính được khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này. Bài viết này gửi tới bạn công thức tổng quát và những ví dụ có lời giải chi tiết
  • Lý thuyết khoảng cách
  • Phương pháp tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
  • Video liên quan

Nội Dung

  • 1

    ĐỊNH NGHĨA KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 MẶT PHẲNG

  • 2

    CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG

  • 3

    VÍ DỤ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 MẶT PHẲNG

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay

Trang trước
Trang sau

Quảng cáo

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất.

+ Bước 2: Kết luận: d((P); (Q)) = d(A; (Q)).

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng(MNP) và (ACC’).

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ MN // AC(1)

+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD’

Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ( MNP) // (ACC’)

+ Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D’O ⊥ (AA’C’C) và d(D’; (ACC’)) = D’O.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Chọn A

+ Vì tam giác ABC đều và AA’ = BA’ = CA’ (giả thiết) nên A’.ABC là hình chóp đều.

Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC

Lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠A’AH = 60°.

+ Xét tam giác AHA’ có: A’H = AH.tan60° = ((a√3)/3).√3 = a

+ lại có; (ABC) // (A’B’C’) ( định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d( A’, (ABC)) = A’H = a

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A’lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A’H ⊥ (ABC). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên ∠A’AH = 60°

+ Xét tam giác A’HA vuông tại H ta có: A’H = AA’.sin60° = (a√3)/2.

+ Do (ABC) // ( A’B’C’) (định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC); (A’B’C’)) = d(A’; (ABC)) = A’H = (a√3)/2

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.AB’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:

Hướng dẫn giải

+ Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB’ = AC’.

⇒ tam giác AB’C’ là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến (do AH ⊥ (A’B’C’)

⇒ HB’ = HC’ và A’H = AC.sin60° = (a√3)/2

+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH ⊥ (A’B’C’) nên ∠AA’H = 30°

Xét tam giác AA’H vuông tại H có:

AH = A’H.tan(AA’H) = (a√3)/2.tan30° = a/2

Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D; cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằng :

Hướng dẫn giải

+ Xét hai mp(AB’C) và (A’DC’) có:

+ Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình chiếu của D’ trên O’D suy ra I là hình chiếu của D’ trên (A’DC’)

ta có: B’D’ = a√2 và O’D’ = (1/2)B’D’ = (a√2)/2

+ xét tam giác O’D’D vuông tại D’ có:

Vậy d((AB’C) ; (A’DC’)) = (a√3)/3

Chọn đáp án D

Quảng cáo

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)

Hiển thị lời giải

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Nhận xét (ACC’) ≡ (ACC’A’)

Gọi O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD

+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC (1)

+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP là đường trung bình của hình thang A’D’DA

⇒ MP // AA’ // PP’(2) .

Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) // (ACC’)

Mà O thuộc mp( ACC’) nên d((MNP); (ACC’) ) = d(O; (ACC’))

+ Ta có: OI ⊥ AC và OI ⊥ AA’ (vì AA’ ⊥ (ABCD) và OI ⊂ (ABCD))

⇒ OI ⊥ (ACC’A’) nên d(O; (ACC’)) = OI

Suy ra

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB’D’) và (BDA’) bằng

Hiển thị lời giải

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Ta có: BD // B’D’ và A’D // B’C

⇒ (A’BD) // (B’CD’) nên ta có:

d((A’BD); (CB’D’)) = d(B’; (A’BD)) = d(A; (A’BD))

+ Vì AB = AD = AA’ = a và A’B = A’D = BD = a√2

⇒ Hình chóp A.A’BD là hình chóp tam giác đều.

+ Gọi I là trung điểm A’B và G là trọng tâm tam giác A’BD.

⇒ AG ⊥ (A’BD)

Khi đó ta có: d(A ; (A’BD)) = AG

+ Vì tam giác A’BD đều cạnh a√2 nên

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Trong tam giác vuông AGD có:

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Chọn B

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB’) và (DA’C’) bằng

Hiển thị lời giải

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Ta có : AC // A’C’ và B’C // A’D

=> (ACB’) // (DA’C’)

Lại có: D ∈ mp(DA’C’) nên d((ACB’), (DA’C’)) = d(D, (ACB’)) = d(B, (ACB’))

+ Vì BA = BB’ = BC = a và nên hình chóp B.ACB’ là hình chóp tam giác đều

+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB’.

⇒ BG ⊥ (ACB’)

Khi đó ta có: d(B, (ACB’)) = BG

+ Vì tam giác ACB’ đều cạnh a√2 nên

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Trong tam giác vuông BGB’ có:

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Chọn C

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4; AD = 3. Mặt phẳng (ACD’) tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

Hiển thị lời giải

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Gọi O là hình chiếu của D lên AC.

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Khoảng cách giữa hai mặt đáy là:

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi J là trung điểm SA và H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√3. Khoảng cách từ (MDJ) đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng

Hiển thị lời giải

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Ta có: MJ // SB (vì MJ là đường trung bình của tam giác SAB). Và MD // BP

⇒ (DMJ) //( SBP)

⇒ d((DMJ); (SBP)) = d(H, (SBP)).

+ Ta chứng minh: NC ⊥ MD

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Chọn C

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước
Trang sau

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

  • Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng
  • Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
  • Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
  • Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
  • Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc ba
  • Sự tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số trùng phương
  • Sự tương giao giữa đường thẳng với đồ thị hàm số y = (ax + b)/(cx + d)
  • Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng và bài tập áp dụng
  • Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
  • Thủ thuật Casio tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Căn bậc hai và phương trình bậc hai của số phức
  • Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
  • Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của R
  • Các phương pháp giải hệ phương trình mũ và logarit
  • Thủ thuật Casio giải nhanh bài toán tích phân chống Casio

Khi biết phương trình của hai mặt phẳng song song ta dễ dàng tính được khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này. Bài viết này gửi tới bạn công thức tổng quát và những ví dụ có lời giải chi tiết

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Lý thuyết khoảng cách

Quảng cáo

1. Khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.

Định nghĩa 1

Khoảng cách từ 1 điểm \(M\) đến một mặt phẳng \((P)\)(hoặc đến đường thẳng\(∆\)) là khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(H\), trong đó \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((P)\) (h.3.56a), kí hiệu là \(d(M, (P))\)(hoặc trên đường thẳng\(∆\), kí hiệu là \(d(M,∆)\) (h.3.56b)).

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

Định nghĩa 2

Khoảng cách giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\) song song với \(a\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của \(a\) tới mặt phẳng \((P)\) (h.3.57), kí hiệu là \(d(a, (P))\).

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa 3

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa

– Đường thẳng \(c\) cắt và vuông góc với cả \(a\) và \(b\) gọi là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\) (h.3.58).

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó.

Nhận xét

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

– Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đã cho đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó (h.3.59).

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

– Dựng mp \((P)\) chứa \(b\) và song song với \(a\).

– Từ một điểm \(M\) trên \(a\), dựng đường thẳng vuông góc với \((P)\), cắt \((P)\) tại \(M’\).

– Trong \((P)\) từ \(M’\) dựng đường thẳng \(a’ // a\), cắt \(b\) tại \(B\).

– Trong mp \((a,a’)\), từ \(B\) dựng đường thẳng song song với \(MM’\), cắt \(a\) tại \(A. AB\) là đường thẳng cần dựng (h3.60).

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Loigiaihay.com

Bài tiếp theo Cách xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

  • Câu hỏi 1 trang 115 SGK Hình học 11

    Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a

  • Câu hỏi 2 trang 115 SGK Hình học 11

    Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

  • Câu hỏi 3 trang 116 SGK Hình học 11

    Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α)….

  • Câu hỏi 4 trang 116 SGK Hình học 11

    Cho hai mặt phẳng (α) và (β)…

  • Câu hỏi 5 trang 116 SGK Hình học 11

    Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (h.3.42)…

  • Lý thuyết cấp số nhân
  • Lý thuyết cấp số cộng
  • Lý thuyết về hàm số liên tục
  • Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Quảng cáo

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 – Xem ngay

Báo lỗi – Góp ý

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *