Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian – Trường Quốc Học

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha ):ax + by + cz + d = 0$ và $(\beta ):ax + by + cz + D = 0$ $(d \ne D).$ ta dùng công thức tính dưới đây.

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gianCách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Công thức: $d((\alpha );(\beta ))$ $ = d(A;(\beta ))$ $ = \frac{{|d – D|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với $A \in (\alpha ).$

Bài tập áp dụng:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x + y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 3z + 5 = 0.$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$

B. $d = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$

C. $d = 2\sqrt {11} .$

D. $d=11.$

Lời giải:
Chọn $M( – 1;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d = d((P);(Q))$ $ = \frac{{| – 1 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$

A. $R=6.$

B. $R=2.$

C. $R=1.$

D. $R=3.$

Lời giải:

Do $(P)//(Q)$ $ \Rightarrow R = \frac{1}{2}d((P);(Q))$ $ = \frac{1}{2}.\frac{{|1 – 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1.$

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Mọi mặt cầu $(S)$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R = \frac{1}{2}d((P);(Q)).$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(\alpha ):2x + y + 2z + 1 = 0$ và $(\beta ):2x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính tổng khoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O$ đến hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta ).$

A. $d = \frac{2}{3}.$

B. $d = \frac{4}{3}.$

C. $d=2.$

D. $d = \frac{1}{3}.$

Lời giải:

Ta có: $d(O;(\alpha )) = \frac{{|1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}$ và $d(O;(\beta )) = \frac{{|3|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1$ suy ra:

$d = {d_1} + {d_2} = \frac{4}{3}.$

Chọn đáp án B.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 2 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 2m – 1 = 0$ bằng $1.$

A. $\{ 3\} .$

B. $\{ 3, – 3\} .$

C. $\{ 0,3\} .$

D. $\{ 0, – 3\} .$

Lời giải:

Chọn $M( – 2;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d((P);(Q))$ $ = d(M;(Q))$ $ = \frac{{|2m – 3|}}{3}.$

Theo giả thiết: $\frac{|2 m-3|}{3}=1 \Leftrightarrow|2 m-3|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 m-3=3 \\ 2 m-3=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=3 \\ m=0\end{array}\right.\right.$

Chọn đáp án C.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;1;-1).$ Gọi $\vec n = (1;a;b)$, $(a;b \in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Tính $a + b.$

A. $2.$

B. $3.$

C. $-2.$

D. $-3.$

Lời giải:

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gianCách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $(P)$, ta có:

$d(B;(P)) = BH \le AB$ $ \Rightarrow d{(B;(P))_{\max }} = AB.$

Vậy $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AB} = (1;0; – 2).$

Suy ra $a = 0$ và $b = – 2$ $ \Rightarrow a + b = – 2.$

Chọn đáp án C.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$?

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. Vô số.

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} = – 4 \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng.

Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gianCách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gianCách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Chọn đáp án C.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Biết rằng qua $B$, $C$ có hai mặt phẳng cách đều $A$, $D.$ Tính tổng khoảng cách từ $O$ đến hai mặt phẳng đó.

A. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{5}.$

B. $\frac{{3\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

C. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

D. $\frac{{9\sqrt {10} + 7\sqrt 6 }}{{15}}.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gianCách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( – 2;2; – 4)$, có phương trình:

$(P): – 2(x – 0) + 2(y – 2) – 4(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + 2z + 2 = 0.$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gianCách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$ Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = ( – 1; – 3;0)$, có phương trình:

$(Q): – 1(x – 0) – 3(y – 2) – 0(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow – x – 3y + 6 = 0.$

Vậy $d(O;(P)) + d(O;(Q))$ $ = \frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

Chọn đáp án B.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Gọi $\vec n(1;b;0)$, $(b \in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $B$, $C$ và cách đều $A$, $D.$ Tính ${b^2}.$

A. $16.$

B. $1.$

C. $4.$

D. $9.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $| \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] . \overrightarrow{A D}=-4 \neq 0 \Rightarrow A, B, C, D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( – 2;2; – 4).$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$

Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = ( – 1; – 3;0).$

Theo giả thiết $\vec n(1;b;0)$ $ = {\vec n_Q} = ( – 1; – 3;0)$ $ \Rightarrow b = 3.$

Vậy ${b^2} = 9.$

Chọn đáp án D.

Tin tức – Tags: hình học không gian, khoảng cách, mặt phẳng, song song

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *