Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2 trong trường hợp đặc biệt.

Có nhiều dạng toán trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán cần phải biết phương pháp giải phương trình bậc 2 thì mới làm được.

Định nghĩa phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Với

  • x là ẩn số
  • a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
  • a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).

Phương pháp giải phương trình bậc 2

Giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta (Δ)

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Định lý Vi-ét với PT bậc 2

Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Một số trường hợp đặc biệt của PT bậc 2

Nếu phương trình bậc 2 có:

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:

Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích

Nếu phương trình có dạng x2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.

Nếu phương trình có dạng x2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và –v.

Tóm lại:

  • x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)
  • x2 + (u+v)x + uv = 0 => x1 = -u, x2 = -v

Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.

Ví dụ phương trình:

x2 – 5x + 6 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.

x2 – 7x + 10 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.

Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0

x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)

  • Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
  • Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.

Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.

Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu u ≠ 0 và v = 1/u thì phương trình (1) có dạng:

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Khi đó: Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x= u, x = 1/u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình:

  • 2×2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
  • 3×2 – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3

Các ví dụ giải PT bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Bài tập tự giải các PT bậc 2

  1. 2×2 + 6x + 5 = 0
  2. x2 – 4x + 4 = 0
  3. 2×2 + 7x – 3 = 0.

Bồi dưỡng Toán 9 – Tags: bậc 2, phương trình, phương trình bậc 2, tính nhẩm, tính nhẩm nghiệm

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *